Γραφική παράσταση συνάρτησης δύο μεταβλητών

Επεξήγηση σχήματος - παραμέτρων:
Το παρακάτω σχήμα αποδίδει την επιφάνεια (το γράφημα) μίας συνάρτησης f δύο μεταβλητών x,y με πεδίο ορισμού το τετράγωνο [-a,a]x[-a,a]. Η παράμετρος a ορίζεται από ομώνυμο δρομέα. Ο τύπος της f αρχικά είναι ο f(x,y) = 2^(-x²) 3^(-y²), αλλά μπορεί να αλλάξει από τον χρήστη (εξηγείται παρακάτω).
Επειδή η επιφάνεια προβολής (η οθόνη) είναι διδιάστατη ενώ ο χώρος που απεικονίζει τριδιάστατος, είναι χρήσιμη η κίνηση ώστε να αντιληφθούμε καλύτερα τις τρεις διαστάσεις με τη βοήθεια του χρόνου. Ο χειρισμός του χώρου γίνεται με τη βοήθεια ενός εργαλείου που έχει ονομαστεί "Περιστροφέας" (είναι η γαλάζια σφαίρα με τους τρεις άξονες στο εσωτερικό της). Τα αντικείμενα που έχει στη διάθεσή του ο χρήστης είναι το σημείο Α και η γωνία q. Από το σημείο Α προσδιορίζεται η κατεύθυνση του άξονα z'z ενώ η q είναι η γωνία περιστροφής γύρω από αυτόν. Η ακτίνα r και το κέντρο O του περιστροφέα δίνονται για την περίπτωση που μεγεθύνετε ή σμικρύνετε το σχήμα (ctrl+wheel), διότι ίσως χρειαστεί να αλλάξετε τη θέση και το μέγεθός του, καθώς ο περιστροφέας θα ακολουθήσει την μεταβολή σας αυτή.
Η προβολή του χώρου στο επίπεδο γίνεται με προβολή από ένα σημείο στο οποίο υποθέτουμε ότι βρίσκεται το μάτι του παρατηρητή. Το σημείο αυτό είναι της μορφής (0,0,d). Η παράμετρος d ορίζεται από τον ομώνυμο δρομέα. Παρατηρήστε ότι όσο πιο κοντά έρχεται ο παρατηρητής, τόσο πιο πολύ παραμορφώνεται το σχήμα. Η συμπεριφορά των σημείων γίνεται κακή όταν το σημείο βρίσκεται "πίσω" από τον παρατηρητή δηλαδή όταν η κατηγμένη του z είναι μεγαλύτερη από το d [ο παρατηρητής έχει και μάτια στην πλάτη(!) αλλά χαλάει την προοπτική του].
Η προσέγγιση της επιφάνειας του γραφήματος της f γίνεται μέσα από τετράπλευρα. Αναλυτικά: Χωρίζεται το κάθε τμήμα [-a,a] σε n ίσα τμήματα, έτσι το πεδίο ορισμού χωρίζεται σε nxn τετράγωνα. Για κάθε μία από τις (n+1)x(n+1) Κορυφές των τετραγώνων αυτών υπολογίζεται η τιμή της f, παριστάνονται τα σημεία της μορφής (x,y,f(x,y)) στο επίπεδο και τέλος με κορυφές τις προβολές αυτές δημιουργούνται τετράπλευρα ισάριθμα με τα τετράγωνα. Όπως είναι λογικό, όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο καλύτερη είναι προσέγγιση της επιφάνειας αλλά και τόσο περισσότερο επιβαρύνεται και καθυστερεί να αποκριθεί η εφαρμογή (στην περιστροφή του σχήματος ή στην μεταβολή των τιμών των παραμέτρων).

Πατώντας το κουμπί στην πάνω δεξιά γωνία, το σχήμα επαναφέρεται στην αρχική του κατάσταση.
Πατώντας το κουμπί στην κάτω δεξιά γωνία, δίνετε κίνηση στην παράμετρο q (εκθεσιακή προβολή!).

Υπόμνημα παραμέτρων:
r: Ακτίνα του περιστροφέα (βρίσκεται ακριβώς κάτω από τον δρομέα του r).
Α: Σημείο χειρισμού του περιστροφέα.
Ο: Κέντρο του περιστροφέα.
q: Γωνία περιστροφής του χώρου γύρω από τον άξονα z'z
d: Η απόσταση του παρατηρητή από το επίπεδο προβολής [ο παρατηρητής βρίσκεται στο σημείο (0,0,d)].
n: Πλήθος διαχωρισμών του πεδίου ορισμού σε ίσα διαστήματα ως προς τον κάθε άξονα (δημιουργούνται nxn τετράπλευρα που προσεγγίζουν την επιφάνεια).
a: Καθορίζει το πεδίο ορισμού της f. Είναι f: [-a,a]x[-a,a]->R
α,β,γ,δ: Παράμετροι του τύπου της f. Εμφανίζονται μόνο αν χρησιμοποιούνται (εξηγείται παρακάτω).

Στο παραπάνω πεδίο κειμένου γράψτε τον τύπο της συνάρτησης f και πατήστε διπλανό κουμπί "Όρισε την f".
Για την σύνταξη του τύπου:
Χρησιμοποιήστε για μεταβλητές τα πεζά λατινικά γράμματα x και y.
Ώς συνήθως, πέραν των πράξεων για τις οποίες διαθέτουμε τα σύμβολα, ο πολλαπλασιασμός συμβολίζεται με "*" ή με κενό, η ύψωση σε εκθέτη με το "^" κτλ.
Υποστηρίζονται οι σταθερές π και e, οι συναρτήσεις sin, cos, tan, sqrt, cbrt, ln, abs, ... (τα ορίσματα μέσα σε παρενθέσεις)
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ως παραμέτρους τα πεζά ελληνικά γράμματα α, β, γ, δ (οποιαδήποτε και οσαδήποτε από αυτά τα τέσσερα). Για όποιο από αυτά χρησιμοποιήσετε, θα εμφανίζεται ένας δρομέας ώστε να μεταβάλλετε την τιμή του.

Τέλος, μπορείτε να ορίσετε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα από τα παρακάτω παραδείγματα (πατήστε στα παρακάτω κουμπιά):
1. (δοκιμάστε για β=1.5 να "παίξετε" με τις τιμές των γ,δ)
2. ("παίξτε" με την τιμή του α όταν a=1 και β+γ+δ=0, π.χ. β=5, γ=-2, δ=-3)
3. ("παίξτε" με την τιμή του δ όταν α=0.5, β=2, γ=3)
4. ("παίξτε" με την τιμή του δ όταν α=2.5, β=-1, γ=3)
5. ("παίξτε" με τις τιμές των γ,δ)
6. ("παίξτε" με τις τιμές των γ,δ)

Πετρίδης Παντελής, Κυριακή 16 Μαΐου 2010, Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra