Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Πετρίδης Παντελής

Σχολείο

Μαθηματικά

GeoGebra

Γεωμετρία Β' Λυκείου - §9.7 Τέμνουσες κύκλου

Εφαρμογή 2^η (αντίστροφο του θεωρήματος ΙΙ, σελ. 202)

Αρχικά - Περιγραφή του σχήματος:

Παίρνουμε σημεία Ρ, Χ, Ψ.

Φέρνουμε τις ημιευθείες ΡΧ, ΡΨ.

Πάνω στην ημιευθεία ΡΧ παίρνουμε σημεία Α, Β (το Α ανάμεσα στα Ρ,Β), ώστε ΡΑ = 4 και ΑΒ = 5.

Πάνω στην ημιευθεία ΡΨ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΡΕ = 6.

Παίρνουμε τον κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Ε.

Ισχύει ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ², άρα ο κύκλος C θα εφάπτεται στην ευθεία ΡΕ στο Ε.

Ακολουθήστε τα βήματα που προτείνονται παρακάτω.

Η Εφαρμογή GeoGebra δεν μπορεί να εκκινηθεί. Βεβαιωθείτε ότι η έκδοση της Java 1.4.2 (ή νεότερη) έχει εγκατασταθεί και ενεργοποιηθεί στο φυλλομετρητή σας.(Πατήστε εδώ για να εγκαταστήσετε την Java.)

Δραστηριότητα 1^η:

Μετακινήστε τα σημεία Χ, Ψ, Ρ.

Παρατηρήστε ότι ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία ΡΕ στο Ε ανεξάρτητα από την επιλογή των σημείων, καθώς διαρκώς ισχύει ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ².

Δραστηριότητα 2^η:

Τσεκάρετε την επιλογή "Μήκη τμημάτων".

Από τους δρομείς που εμφανίζονται μπορείτε να αλλάξετε τα μήκη των τμημάτων ΡΑ, ΑΒ και ΡΕ (για πρακτικούς λόγους επιτρέπονται θετικοί ακέραιοι μέχρι το 10).

Παρατηρήστε την προσαρμογή της θέσης του κύκλου καθώς αλλάζετε τα μήκη των τμημάτων.

Αναζητήστε άλλους συνδυασμούς για τους οποίους ισχύει ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ².

Παρατηρήστε ότι ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία ΡΕ στο Ε αν και μόνον αν ισχύει ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ².

Τσεκάρετε την επιλογή "Υπολογισμοί - Παρατηρήσεις" για να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα.

Δραστηριότητα 3^η:

Τσεκάρετε την επιλογή "Δραστηριότητα 3".

Εμφανίζονται το κέντρο Ο του κύκλου C και η κυρτή γωνία θ που σχηματίζουν οι ημιευθείες ΡΧ, ΡΨ.

Προσπαθήστε, αλλάζοντας τη θέση των σημείων Ρ, Χ, Ψ (ενός ή περισσότερων), να βρείτε έναν κατάλληλο συνδυασμό, ώστε η ΑΒ να είναι διάμετρος του κύκλου (τότε το Ο θα βρίσκεται πάνω στην ΑΒ και μάλιστα στο μέσο του τμήματος).

Αλλάξτε τα μήκη των ΡΑ, ΑΒ, ΡΕ και προσπαθήστε να επιτύχετε το παραπάνω ξανά.

Παρατηρήστε ότι για κάθε συνδυασμό μηκών των ΡΑ, ΑΒ, ΒΕ μπορείτε να πετύχετε διάφορους συνδυασμούς θέσεων των σημείων Ρ, Χ, Ψ που να συμβαίνει αυτό, αλλά πάντα για την ίδια γωνία θ (για να εμφανιστεί η ένδειξη "Το ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου" πρέπει να πετύχετε την κατάλληλη γωνία με μεγάλη ακρίβεια).

Η παραπάνω διαπίστωση μας οδηγεί στο παρακάτω ερώτημα:

Μπορούμε να βρούμε την κατάλληλη γωνία θ₀ βασισμένοι στα μήκη των ΡΑ, ΑΒ και ΡΕ χωρίς δοκιμές αλλά με τύπο;

Η απάντηση είναι πως ναι, μπορούμε. Μάλιστα κάτι τέτοιο έχει συμπεριληφθεί ήδη: Αν τσεκάρετε την επιλογή "Γωνίες", εμφανίζεται, μεταξύ άλλων, η επιθυμητή γωνία θ₀.

Μπορούμε, αλλά όχι άμεσα. Πρώτα βρίσκουμε το συνημίτονο της γωνίας. Έπειτα, από το συνημίτονο βρίσκουμε την ίδια τη γωνία. Γι' αυτό και στην επιλογή "Γωνίες" εμφανίζονται η τρέχουσα και η επιθυμητή γωνία, αλλά και τα συνημίτονά τους.

Στο βήμα εύρεσης της κατάλληλης γωνίας θ₀ από το συνημίτονό της χρειάζεται να συμβουλευτούμε έναν τριγωνομετρικό πίνακα. Στο λύκειο κάτι τέτοιο δε μας προσφέρεται, θυμηθείτε όμως ότι στα βιβλία του γυμνασίου υπήρχαν τέτοιοι πίνακες. Έτσι, στα πλαίσια του λυκείου, διατυπώνεται η παρακάτω άσκηση, αρχικά σε δύο εκδοχές και στη συνέχεια προκύπτουν διάφορα ερωτήματα:

α) Αν το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου C, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας θ ως συνάρτηση των τμημάτων ΡΑ, ΑΒ, ΡΕ, ενώ επιπλέον ισχύει ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ².

β) Αν το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου C, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας θ ως συνάρτηση των τμημάτων ΡΑ, ΑΒ, ΡΕ.

Παρατήρηση: Εναλλακτικά θα μπορούσατε να λύσετε τα παραπάνω ερωτήματα βρίσκοντας το συνημίτονο της γωνίας θ ως συνάρτηση των τμημάτων ΡΑ, ΡΒ, ΡΕ (δηλαδή χρησιμοποιώντας το ΡΒ αντί του ΑΒ) . Κάτι τέτοιο θα βοηθήσει και στα επόμενα ερωτήματα στα οποία συμμετέχει το τμήμα ΡΒ και όχι το ΑΒ.

Συγκρίνοντας τα δύο πρώτα ερωτήματα βλέπουμε ότι το α ερώτημα είναι ευκολότερο από το β, καθώς έχουμε ένα επιπλέον στοιχείο να αξιοποιήσουμε, ενώ το β ερώτημα είναι πιο γενικό. Έτσι, το ερώτημα που ακολουθεί είναι απολύτως εύλογο:

γ) Επαληθεύστε ότι η λύση του β ερωτήματος με δεδομένη τη σχέση ΡΑ x ΡΒ = ΡΕ² συμπίπτει με τη λύση του α ερωτήματος.

Παρατηρώντας την απάντηση του ερωτήματος β προκύπτει το επόμενο ερώτημα:

δ) Να δείξετε ότι η κατάλληλη γωνία θ₀ είναι πάντα οξεία.

Επίσης, εύλογα προκύπτει το παρακάτω ερώτημα το οποίο είναι το αντίστροφο του ερωτήματος β. Έτσι, επιβεβαιώνεται ότι η γωνία θ₀ που προκύπτει είναι κατάλληλη, ώστε το ΑΒ να είναι διάμετρος του κύκλου:

ε) Να δείξετε ότι αν το συνημίτονο της γωνίας θ είναι ίσο με το συνημίτονο που βρήκαμε από το ερώτημα β, τότε η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου.

Προκύπτει και ένα άλλο εύλογο ερώτημα: Υπάρχει πάντα μία τέτοια κατάλληλη γωνία; Έτσι, προκύπτει το επόμενο ερώτημα:

στ) Να βρείτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να υπάρχει η κατάλληλη γωνία θ₀.

Από τον τρόπο που διατυπώνεται το προηγούμενο ερώτημα, γίνεται σαφές ότι δεν υπάρχει πάντα μία τέτοια κατάλληλη γωνία. Μάλιστα, μπορείτε να δοκιμάσετε να αλλάξετε τα μήκη των ΡΑ, ΑΒ, ΡΕ στο σχήμα μέχρι να πετύχετε κάποιον συνδυασμό όπου να παίρνετε ως απάντηση ότι η γωνία θ₀ δεν ορίζεται. Ίσως, μέσα από τις δοκιμές να μαντέψετε τη συνθήκη, αν και αυτό δεν είναι το ζητούμενο, ή, ακόμη καλύτερα, να προσανατολιστείτε και να βοηθηθείτε, ώστε τελικά να φτάσετε στην επίλυση. Επίσης, αν έχετε λύσει το ερώτημα, μπορείτε πάνω στο σχήμα να επαληθεύσετε τα αποτελέσματά σας.

Τέλος, μέσα από την επίλυση του προηγούμενου ερωτήματος εύκολα προκύπτει και το παρακάτω τελευταίο ερώτημα ή, ανάποδα, η επίλυση του επόμενου ερωτήματος μπορεί να βοηθήσει την επίλυση του προηγούμενου στο οποίο δυσκολευτήκατε:

ζ) Να βρείτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε η κατάλληλη γωνία να είναι θ₀ = 0.

Και πάλι μπορείτε να δοκιμάσετε συνδυασμούς με τα μήκη των ΡΑ, ΑΒ, ΡΕ, ώστε να προσανατολιστείτε για την επίλυση ή να επαληθεύσετε αφού επιλύσετε.

Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra

ΔΗΜΟΣΙΕΥΤΗΚΕ: 21/2/2010

Πετρίδης Παντελής, Μαθηματικός - Επικοινωνία: ppetridis@sch.gr - Τελευταία ενημέρωση: 26/6/2013 (/GeoGebra/Μέτρο αθροίσματος-διαφοράς διανυσμάτων-μιγαδικών)